내마음에 드는 정보이지만, 네마음에도 들기를 바라는 내맘네맘입니다^^
오늘은 지난번 2022년 수능 수학 풀이에 이어서 이야기를 나눠보려고 합니다.
지난번에 올린 1~7번 문제 풀이는 아래 링크에 올려두었어요:)
수능 수학문제를 오랜만에 풀어보니 어렵기도 하면서 새록새록 머리가 켜지는 것 같아서 재미있었습니다.
2022 수능 수학 30대가 되어서 풀어보는 수능 수학 풀이(1번~7번 문제)
내마음에 드는 정보이지만, 네마음에도 들기를 바라는 내맘네맘입니다^^ 오늘은 오늘은 2022년 수능 수학에 대해 이야기를 나눠보려고 합니다. 사회생활을 하다보면 정답이 없는 결정들 속에서
icareu.tistory.com
8번 문제 : 다항함수 적분, 3차식 인수분해
9번 문제 : 지수함수 계산, 피타고라스 정리
10번 문제 : 3차 방정식, 다항식의 미분, 미분이 기울기이다, 접선
2022 수능 수학 8번~10번 문제 풀이 캡쳐
2022 수능 수학 8번 문제
8번 문제는 다항함수의 적분을 이용해서 넓이를 구하는 문제였습니다. (필요한 지식 : 다항함수 적분, 3차식 인수분해)
2차함수 곡선과 y=x 직선 사이를 둘러싼 넓이는 문제 위에 있는 그래프처럼 나타낼 수 있었구요. 이들의 차를 x=0~6까지 적분하면 둘러싼 넓이 S=36을 구할 수 있습니다.
문제에서는 x=k 라는 직선이 넓이를 이등분 한다고 했으므로, 동일한 식을 x=0~k까지 적분한 넓이 S1이 전체의 절반이 되면 이등분 하는 것이므로, 적분했을때 18이 나온다고 하고 풀이하면 되는데요. k에 대한 3차식이 나와서 이걸 인수분해 하면 k=3으로 유일한 근이 나오게 됩니다.
교훈: 적분을 이용하면, 수식으로만 표현할 수 있다면 어떠한 복잡한 형태의 넓이라도 구할 수 있습니다. 이건 실생활에서도 어떤거 대략적인 넓이가 궁금할 때 테일러 전개랑 응용하면 유용하게 사용할 수 있습니다.
2022 수능 수학 9번 문제
9번 문제는 지수함수 그래프를 해석하는 문제였습니다. (필요한 지식 : 지수함수 계산, 피타고라스 정리)
문제에서 지수함수 2개를 주고, 이들 사이를 지나는 기울기 2인 직선그래프 y=2x+k를 미리 그려주었습니다. 그리고 각각의 지수함수에 만나는 점 P,Q를 주고 거리가 루트5 라고 되어있습니다.
사실 처음에 좀 막막해 보였는데요. 주어진 단서중에서 명확하게 도움이 될만한 것을 먼저 생각해봤습니다.
1) 점P와 점Q의 거리가 루트5이다.
2) 점P와 점Q가 기울기가 2인 직선 그래프 위에 있다. (x 1증가하면, y 2증가)
==> 여기에서 피타고라스 정리로 생각하면, 직각삼각형 하나를 그릴 수 있고 삼각형의 x거리가 1 y길이가 2인 것을 알 수 있습니다.
이걸 좌표로 표현하면 P(a,b)일때, Q(a+1,b+2)라고 할 수 있겠죠.
점P와 점Q가 각각 식을 알고 있는 지수함수 위에 있으므로 이걸 대입하면 식(1)과 식(2)를 구할 수 있습니다. 지난번에도 말했듯이 미지수 2개(a,b)가 있는데 식 2개를 구했으니 이 식을 정리하면 미지수 a,b 값을 구할 수 있습니다.
그리고 a와 b 값을 구하면 점P와 점Q의 좌표를 정확히 찾을 수 있고, 이걸 직선 그래프에 대입하면 k값도 구할 수 있어서 답이 4번임을 알 수 있습니다.
교훈1: 천리길도 한걸음부터, 주어진 정보 중 손쉽게 이용할 수 있는 정보를 바탕으로 실마리를 하나씩 찾아야 한다.
교훈2: 미지수의 갯수가 n개인 경우, 서로 다른 식 n개를 만들어내면 미지수가 뭔지 구할 수 있다.
2022 수능 수학 10번 문제
10번 문제는 단서를 바탕으로 임의의 3차 함수를 찾아내는 문제였습니다. (필요한 지식 : 3차 방정식, 다항식의 미분, 미분이 기울기이다, 접선)
이번 문제는 시작부터 단서를 많이주고 있었는데요. f(x)와 xf(x)에서 각각 그은 접선이 일치한다고 하였는데요. 접선을 그어주게 되면 사실 좀 문제가 간단해 집니다.
접선은 접하는 직선이기 때문에 1차함수로 수렴하게 되기 때문에 몇 가지 단서만 있으면 식을 구할 수 있습니다.
1) 점 2개를 아는 경우
2) 점 1개와 그래프를 아는 경우
그런데 문제에서 이미 (0,0)과 (1,2) 이렇게 두 점을 지난다는 것을 알려줬기 때문에 접선 식을 구할 수 있습니다.
또한 접선이라는 것은, 해당 점에서 원래의 그래프의 기울기와 접선의 기울기가 같다는 의미도 되므로 이를 통해서 f(x)와 g(x)=xf(x)의 미분값도 찾아낼 수 있는 상황이 됩니다.
식1) f(0)=0
식2) f'(0)=2
식3) g(1)=1*f(1)=2
식4) g'(1)=f(1)+1*f'(1)=2 -> f'(1)=0
이렇게 식이 4개가 나오게 됩니다. 그리고 3차함수 f(x)를 임의로 나타내면 f(x)=ax^3+bx^2+cx+d 이렇게 a,b,c,d 4개의 미지수로 나타낼 수 있는데요. 미지수 4개에 식4개 이제는 익숙하죠? 모든 미지수의 값을 구할 수 있습니다.
이렇게 구한 a,b,c,d 값으로 f(x)를 복원하고 f'(2)를 구하면 답이 나옵니다^^
교훈1: 접선이 나오면 당황할 게, 아니라 오히려 좋아해야한다. 복잡한 그래프를 쉽게 해석할 수 있는 1차 함수를 선물해주는 것이라서..! 대신 미분에 대한 지식이 필요해요
교훈2: 미지수의 갯수가 n개인 경우, 서로 다른 식 n개를 만들어내면 미지수가 뭔지 구할 수 있다.
오늘 글이 도움이 되셨다면 댓글을 통해서 응원해주시면 큰 힘이 될 것 같습니다:)
궁금하신 부분에 대해 문의주시면 다음 포스팅에 참고하도록 하겠습니다!