내마음에 드는 정보이지만, 네마음에도 들기를 바라는 내맘네맘입니다^^
오늘도 이어서 2022년 수능 수학 풀이에 대해 이야기를 나눠보려고 합니다.
지난번에 올린 1~10번 문제 풀이는 아래 링크에 올려두었어요:)
오랜만에 수능문제를 풀어보니 어려우면서도 머리를 다시 사용하니 재미있기도 했습니다!
2022 수능 수학 30대가 되어서 풀어보는 수능 수학 풀이(8번~10번 문제)
내마음에 드는 정보이지만, 네마음에도 들기를 바라는 내맘네맘입니다^^ 오늘은 지난번 2022년 수능 수학 풀이에 이어서 이야기를 나눠보려고 합니다. 지난번에 올린 1~7번 문제 풀이는 아래 링크
icareu.tistory.com
11번 문제 : 정삼각형, 닮음, 삼각함수, 탄젠트, 탄젠트의 주기, 직선의 기울기
12번 문제 : 연속함수의 정의, 인수분해
2022 수능 수학 8번~10번 문제 풀이 캡쳐
2022 수능 수학 11번 문제
11번 문제는 정삼각형이라는 단서와 삼각함수 탄젠트의 주기를 응용하여 그래프를 해석하여 넓이를 구하는 문제였습니다. (필요한 지식 : 정삼각형, 닮음, 삼각함수, 탄젠트, 탄젠트의 주기, 직선의 기울기)
먼저 문제에서 주어진 단서를 한번 확인해보면, f(x)를 a라는 미지수가 들어간 탄젠트 함수로 주어졌고 a의 범위도 주었습니다. 이걸 밑에 그림으로 f(x)를 알려줬고, 특정 직선과 만나는 A, B점과 함께 정삼각형을 이루는 C점이 있는 것을 볼 수 있습니다.
일단 단서로 잡을 수 있는게 아래의 3가지가 있습니다.
1) 원점을 지나는 직선 -> A와 B가 원점에 대해서 대칭
2) 정삼각형 -> A,B,C 길이 같고, 각도가 60도로 같다.
3) A,B,C 모두 탄젠트 함수 위에 있다. -> 특히나 A,C는 탄젠트의 π 각 만큼의 거리에 있음
3)이용: A,B가 원점에 대해서 대칭이므로 하나의 미지수 k를 도입해서 두개의 좌표를 표현할 수 있고(그림에 파란글자), A,C가 탄젠트의 π 각 만큼의 거리에 있으므로 정삼각형의 길이가 a임을 알 수 있습니다. (tanx=tan(π+x))
이 정삼각형 한변의 길이가 a인 것을 알았고, 이 a를 통해서 닮음인 작은 삼각형을 그려보면 B에서의 x좌표인 k=a/4임을 알 수 있습니다. 이를 f(x)에 대입하면 f(a/4) = tan(π/4) = 1 입니다. 즉, B의 좌표를 (a/4,1)로 구할 수 있습니다.
2)이용: 이 B가 기울기 60도(정삼각형의 한각의 크기 60도) 인 직선 위에 있는 것이므로, 기울기가 tan(60º) = sqrt(3)인걸 이용해서 기울기를 구하면, 미지수의 값을 구할 수 있습니다. (a=4sqrt(3)/3)
마침내 a를 알았으니, 삼각형의 넓이(S=1/2*a*높이, 높이는 B의 y좌표*2=2)를 구할 수 있습니다.를 구하는 식을 이용하여 답을 구할 수 있습니다.
교훈: 문제에서 주어진 단서를 이용하여, 기본적인 지식부터 분리해서 바라보면 복잡한 문제도 풀 수 있는 문제로 바뀌게 된다.
2022 수능 수학 12번 문제
12번 문제는 연속함수의 정의를 이용하여 미지의 함수를 구하는 문제였습니다. (필요한 지식 : 연속함수의 정의, 인수분해)
문제에서 준 단서는
1) f(x)가 실수 전체에서 연속이라는 점
2) f(x)가 0과 1 사이에 존재한다는 점 ; 0≤f(x)≤1. 최소값 0, 최대값 1
f(x)에 대한 단서를 얻기 위해서 일단은 x에 0이나 1처럼 간단한 숫자를 넣어보았다.
i) x=0 ; f(0) = 0 or 1
ii) x=1 ; f(1) = 1 (or -1 인데, -1은 단서2)와 모순되므로 제외)
iii) 문제를 자세히 보니, f(x)에 대한 식을 간단하게 인수분해 할 수 있었다. 이를 바탕으로 보면 =>f(x)=1 or x or -x으로 표현되어야 한다.
단서2)에서 f(x)의 범위를 제한했는데, f(x)=1인 것은 아무런 문제가 되지 않지만, f(x)=x 이거나 f(x)=-x 인 부분은 x가 큰 부분에서는 단서2)를 벗어나게 만들기 떄문에 f(x)가 정해지는데 핵심적인 부분이라고 생각했다.
i)에서 구한 f(0)=0 or 1이라는 2가지 가능성에 대해서 점검해보았는데.
(Case 1 : f(0)=0 인 경우)
f(x)가 연속이려면, f(0)=0이 성립하려면 x가 0 인근일 때 f(x)=x or -x를 따라야 하므로 그래프가 정해지고, 단서1)과 단서2)에 대해 아무런 모순이 없습니다.
(Case 2 : f(0)=1 인 경우)
f(x)가 연속이려면, f(0)=1이 성립하려면 x가 0 인근일 때 f(x)=1을 따라야 하므로, 그래프가 f(x)=1로 그려지게 됩니다. 그런데 이 경우 단서2)에서 f(x)의 최소값이 0이라는 조건을 성립시킬 수 없으므로 모순이됩니다.
따라서 f(x)의 그래프모양은 (Case 1)에서 그런것과 같고, 이를 통해서 정답을 구할 수 있습니다.
교훈: 복잡한 문제일수록 간단해지게 만드는 방법을 이용할 필요가 있습니다. x에 0이나 1 같이 특수한 케이스를 대입해서 문제의 정체를 알아낼 수 있습니다.
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