2022 수능 수학 30대가 되어서 풀어보는 수능 수학 풀이(13번 문제, 14번 문제)

내마음에 드는 정보이지만, 네마음에도 들기를 바라는 내맘네맘입니다^^

오늘도 이어서 2022년 수능 수학 풀이에 대해 이야기를 나눠보려고 합니다.

 

지난번에 올린 1~10번 문제 풀이는 아래 링크에 올려두었어요:)

오랜만에 수능문제를 풀어보니 어려우면서도 머리를 다시 사용하니 재미있기도 했습니다!

2022년 수능 수학 1~7번 문제 풀이

2022년 수능 수학 8~10번 문제 풀이

2022년 수능 수학 11~12번 문제 풀이

2022 수능 수학 30대가 되어서 풀어보는 수능 수학 풀이(11번~12번 문제)

13번 문제 : 로그함수의 정의, 1차함수의 정의, y절편, 로그함수의 연산, 지수함수의 연산
14번 문제 : 속도함수, 변위함수, 이동거리, 이차함수의 형태, 다항함수의 미분과 적분, 적분의 정의

2022 수능 수학 13번~14번 문제 풀이 캡쳐

2022년 수능 수학 13번,14번 문제

2022 수능 수학 13번 문제

2022년 수능 수학 13번 문제

13번 문제는 로그함수와 y절편의 정의를 이해하고, 이를 바탕으로 수식을 세운 뒤에 로그함수와 지수함수의 연산특성을 바탕으로 식을 간단하게 나타내어서 미지의 f(x)를 구하는 문제였습니다. (필요한 지식 : 로그함수의 정의, 1차함수의 정의, y절편, 로그함수의 연산, 지수함수의 연산)

 

먼저 문제에서 주어진 단서를 한번 확인해보면, log₂(x)와 log₄(x)를 주었구요. 해당 곡선 위에서 x=a, x=b 점을 이어서 직선을 그으면, 두 직선이 서로 같은 y절편을 지난다고 되어있습니다. 그런데 문제에서 실제로 풀기 원하는 f(x) = a^bx + b^ax로 지수함수의 형태입니다. 로그함수와 지수함수는 서로 짝을 이루기 때문에 주어진 단서를 바탕으로 풀 수 있을 것이라고 예상되는데요.

 

일단 단서로 잡을 수 있는게 아래의 3가지가 있습니다.

1) log₂(x)와 log₄(x) 위에서 x=a, x=b 점을 이은 직선 -> 1차함수의 정의로 식을 쓸 수 있음

2) 두 직선의 y 절편이 같다 -> 1차함수의 상수항 부분이 같다.

3) f(x=1) = 40 -> a^b+b^a = 40. 즉, 로그함수를 풀어서 지수함수 형태의 결과값을 얻으면 풀이가 가능하다.

 

1),2)를 이용하면 log₂(a)와 log₄(a)로 정리되는 식을 얻을 수 있습니다. 여기서 log의 연산을 이용하면, log₂(a)=2log₄(a)의 관계가 있으므로 (마찬가지로 log₂(b/a)=2log₄(b/a)), 식을 간단하게 묶을 수 있습니다.

그리고 로그함수의 연산을 이용하여 식을 정리해보면, log₄{a^(b-a)} = log₄{(b/a)^a} 가 되는데, 1<a<b 이므로 log₄를 제거해도 수식이 성립하므로, a^(b-a)=(b/a)^a로 지수함수의 형태를 얻을 수 있습니다. 그리고 이를 다시 각각 정리해보면, a^b=b^a의 관계가 나옵니다.

 

여기에 3)에서 구한 f(1)을 대입하면 a^b=b^a=20임을 확인할 수 있고, 미지의 수식이었던 f(x) = 2*20^x로 구할 수 있게 됩니다. 여기에 x=2 대입하면 문제에서 원하는 답을 구할 수 있습니다.

 

2022 수능 수학 14번 문제

2022년 수능 수학 14번 문제

14번 문제는 속도함수와 변위함수의 정의와 이들 사이의 미분과 적분 관계, 그리고 이동거리의 정의를 이용하여 미지의 함수의 형태를 추론하는 문제였습니다. (필요한 지식 : 속도함수, 변위함수, 이동거리, 이차함수의 형태, 다항함수의 미분과 적분, 적분의 정의)

 

문제에서 준 단서는

1) x(t)가 3차함수라는 점 ; 즉, v(t) = x'(t)는 2차함수

2) x(0)=x(1)=0 이라는 점

3) ∫|v(t)|dt = 2가 이동거리라는 점 ; t=0~1 까지 x(t)의 이동거리가 2가 된다. 

 

ㄱ.∫v(t)dt = 0 은 속도함수가 변위함수의 미분관계라는 것을 이용하면 쉽게 구할 수 있다. v(t)=x'(t) 이므로, 위의 적분식은 x(1)-x(0) 으로 정리되는데, x(1)=x(0)=0 이므로 ㄱ은 맞다고 볼 수 있다.

 

그런데, 이 ㄱ의 결과와 단서1), 3)을 이용하면, v(t) 함수의 대략적인 그래프 개형을 알 수 있습니다. ㄱ과 1)을 통해서 t=0~1 동안 이동거리는 2이지만, 변위는 0 인 것을 알 수 있습니다. v(t)가 2차함수이므로 이러한 상황이 가능한 경우를 대략적으로 그려보면 위의 ㄴ에 그려둔 그림과 같습니다.(3번째 케이스를 뒤집은 것까지하면 4가지 가능)

 

ㄴ. 이렇게 그려면 v(t) 그래프 계형을 바탕으로 보면, t=0~1 동안 변위가 1초과로 가는 경우가 없는 것을 알 수 있고, 따라서 ㄴ은 거짓이 됩니다.

 

ㄷ. t=0~1에서 |x(t)|<1 이라는 것은, 그래프 개형 중 3번째 케이스에 해당한다고 볼 수 있습니다. (첫번째, 두번째 경우는 x(t)=1이 되는 순간이 존재) 이 경우 x(t)가 한쪽으로 갔다가 다시 돌아오게 되므로 t=0~1 사이에 특정 시간 t2에서 x(t2)=0이 되는 상황이 존재할 수밖에 없기에 참이라고 볼 수 있습니다.

 

즉, 답은 ㄱ,ㄷ 입니다.

 

14번 문제는 수식의 풀이를 통해서 접근을 하게 되면, 꽤나 복잡할 수 있으나 속도와 변위, 이동거리라는 관점으로 해석해보면 쉽게 답을 찾을 수 있습니다. (물론 이런 접근도 미분과 적분을 통해 해석한 것과 동일하긴 합니다.)

 

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